数と自然と芸術

 数と自然と芸術

 

『科学なしで実践にふけるものは、舵や羅針盤なしで船をあやつろうとする船乗りのようなものだ。』

—レオナルド・ダ・ヴィンチ

フィボナッチ数列

F０　＝　０、　F１　＝　１

Fn＋２　＝　Fn　＋　Fn＋１　（n≧０）

０、１、１、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９，１４４，２３３・・・

 

自然界の多くの場所に現れる。

・ 葉序　花の花弁、茎につく葉、樹木の枝などの配置

・ ポプラの枝が出る角度

・ バラの木のとげの間隔

・ ヒマワリの種

・ ミツバチの数

・ パイナップル

・ 松ぼっくり

 

※隣り合うフィボナッチ数列の比は黄金比φに収束する。

 

φ（ファイ）黄金比　神聖比率

（１＋√５）／２　＝　φ

近似値１．６１８

DNA・・・二重らせん構造。一周期の幅と長さの比率はφ。

人間の体のたくさんの部分に比率φを発見できる。

紀元前１世紀　ウィトルウィウス

人体の比率をヒントに建築理論をまとめる。『建築十書』

１５１１年　ルネッサンスによる古代復興

レオナルド・ダ・ヴィンチ　『建築十書』の新しい版の挿絵を描く。

 

現在、名札、トランプ、はがき、クレジットカードなどの縦横比にも利用されている。

 

・ブラマンテ、ル・コルビュジェの建築

・モーツァルト、バルトーク、ギョーム・デュファイの音楽

・ エジプトのピラミッド

・ パルテノン神殿

・ 多くの絵画作品

 

ル・コルビュジェは人体の寸法と黄金比を調和させるモジュロールを考案。

 

白銀比とは１：√２のこと。用紙サイズ（A判、B判など）にも使われ、日本建築の基準にもなっている。

 

フラクタル

１９７５年、ブノワ・マンデルブロが考案した幾何学の概念。図形の全体と部分とが自己相似になっているもの。

黄金比と密接な関係がある。

無限の構造を持つため、自然界の様々な場所に見られる。

・雪の結晶、海岸線、植物、血管、脳細胞、病原菌など

黄金比で作られた長方形から対数らせんと呼ばれるフラクタル図形が作られる。

・ オウムガイ、ハリケーン、渦巻き星雲

・ レオナルド・ダ・ヴィンチ設計　ヴァチカン美術館の階段

 

「そう、自然主義者は観察している。１匹のノミの背中には、彼よりも小さなノミが何匹も乗ってお祈りをしている、その何匹ものノミの背中にはさらに小さなノミが乗っていて彼らに噛み付いてくる。そして以下同様、それが無限に続くということを。」１８世紀イギリスの風刺家ジョナサン・スウィフト

 

世界は、あらゆるものが絶えず変化し、小さなスケールから大きなスケールへ、、そしてまた小さなスケールへとフィードバックを繰り返すことで成り立ち、生命はこの原理に基づいて生み出されてくる。

 

近年、フラクタルなオブジェクトの計算によって生まれる画像、数字は新たな芸術の素材として利用されている。

→フラクタルアート

 

カオス　複雑系

非線形系。ある条件のもとでは秩序正しく周期的にふるまうものの、予測不可能。

単純な数式から、ランダムにも見える複雑なふるまいが発生する。

初期値のわずかなずれが時間の経過とともに巨大なずれへと変わる。（バタフライエフェクト）

 

雲、大気の動きや、人口増加量、経済などもカオス的なふるまいを示す。