おおざっぱな数学史

 おおざっぱな数学史

 

３万年前　旧石器時代

数の概念があったかは不明。

骨片に切り傷をつけて数えていた跡が発見されている。

 

紀元前４０００年頃　ナイル川周辺でのナカダ文明

毎年、氾濫が治まったあと、農地を元通りに区画復元しなくてはならないため、測量技術、幾何学が発達。杭と縄で作図。

 

紀元前３３００年頃　メソポタミア南部のシュメール

世界最古の文字誕生。（楔形文字）

国が財政管理をするため、柔らかい粘土板に文字を記録。

数を表す文字も。

 

紀元前６００年頃　古代ギリシャ

民主制では、論理的思考が必要。

哲学、数学、科学の創始者　タレス

タレスの定理

１．  円はその直径により２等分される

２．  二等辺三角形の両底辺は等しい

３．  対頂角は等しい

４．  １辺とその両端の角がそれぞれ等しい２つの三角形は合同である

５．  半円内の角は直角である

６．  相似な三角形の対応辺は比例する

 

紀元前５５０年頃　アナクシマンドロスの弟子、ピタゴラスは幾何学を発展させる

世界最初の音楽理論

数の名前（偶数、奇数、素数、約数、完全数．．．）

ピタゴラス学派の定理

無理数は神が誤って作った数として認めない

 

紀元前４５０年頃　エレア学派、パルメニデスの弟子ゼノン　４つの逆説

二分法、飛矢不動、競技場、アキレスと亀

 

紀元前４００年頃　プラトン　アカデミア（学園）を設立

「幾何学を知らざるものこの門に入るを禁ず」

 

紀元前３５０年頃　ユークリッド

ギリシャ数学を集大成「ユークリッド幾何学」

 

紀元前２００年頃　シルクロードが開かれる

商人が計算をするため、アバクスが開発される。

 

中世ヨーロッパ　科学の暗黒時代

 

１２０２年　フィボナッチが「算盤の書」を発表　アラビア数字を紹介

 

１６世紀以降　ルネッサンス

大砲の優劣が戦争の勝敗を決める

タルタリア　大砲の弾道を研究

ルネ・デカルト　夢の中でグラフを考案　幾何学の問題と方程式が結びつく

 

イタリアで賭博が流行

ジロラモ・カルダーノ「サイコロ勝負について」

確率論の創始者

ガリレオ・ガリレイ「サイコロ賭博に関する考察」

 

１７世紀　

アイザック・ニュートン

微積分法の発見

実際は、ニュートンが発表嫌いだったためライプニッツの方法が広まる

 

・大英帝国ロンドン　世界中の物資が集まり、伝染病も流行る

死亡表→統計学の発達

・ドイツ　復興のため国力を計算

国勢調査のはじまり

・フランス貴族で賭博が流行

パスカルとフェルマーは共同研究　現代確率論の基礎を築く

 

１８世紀

ナポレオンは三角関数から導かれる大砲の弾道計算を暗記　圧倒的な強さ

オイラー「位相幾何学」（トポロジー）

 

１９世紀

ロシアで賭博が流行

オストログラツキー、ブニアコフスキー、チェビシェフら、確率論の基礎を完成させる

ロバチェフスキー「非ユークリッド幾何学」

カントール「集合論」

無限個の要素を比較

 

２０世紀　ロンドン

ピアソン　「標準偏差」

弟子のフィッシャー　「推測統計学」

→「標本調査」（サンプリング）

世論調査、視聴率調査、大量生産品のチェック、環境調査等に利用される


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おまけ

古代文明における数の数え方

古代メソポタミア・・・６０進法

（１年＝３６０から導かれた？）

古代アメリカ（マヤ文明等）・・・２０進法

（おそらく裸足だったため）

インド・・・位取り記数法による１０進法、

ゼロの概念を定式、アラビア数字

紀元前８００年以降、異文化交流が盛んになると、インドの記数法が広まる。

イオニア学派

タレス

アナクシマンドロス

ピタゴラス学派

ピタゴラス

ヒッパソス

エレア学派

パルメニデス

ゼノン

プラトン学派

プラトン

エウドクドス

第一アレキサンドリア学派

ユークリッド

アルキメデス

アポロニウス

エラトステネス

 

高橋悠治 『ケージ:プリペアド・ピアノのためのソナタとインターリュード 』

高橋悠治 『ケージ:プリペアド・ピアノのためのソナタとインターリュード 』 1975

オススメ度
凡人：☆
プリペアされたピアノが好きな人：☆☆☆☆

和声レベル：パーカッシブなサウンドによる無調
リズムアプローチ：クラシック

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プリペアド・ピアノのためのソナタとインターリュード
1.ソナタ第１番
2.ソナタ第２番
3.ソナタ第３番
4.ソナタ第４番
5.第１インターリュード
6.ソナタ第５番
7.ソナタ第６番
8.ソナタ第７番
9.ソナタ第８番
10.第２インターリュード
11.第３インターリュード
12.ソナタ第９番
13.ソナタ第１０番
14.ソナタ第１１番
15.ソナタ第１２番
16.第４インターリュード
17.ソナタ第１３番
18.ソナタ第１４，１５番
19.ソナタ第１６番

高橋悠治(プリペアド・ピアノ)

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ジョン･ケージが偶然性を取り入れた曲を作る試みを始める前、1946～1948年にかけて作曲された、プリペアド・ピアノのための楽曲。

彼が発明(？)したプリペアド・ピアノのサウンドが前面に使われています。
1935年頃、打楽器による音楽がステージの大きさの制約により演奏困難だったために、ピアノの弦の上に様々なものを置いて演奏することを検討したのが、プリペアのはじまりだといわれています。
収録されている曲では、ボルト、ナット、ねじなどの金属、ゴムやプラスチック片がピアノにはさまれているようです。
音程感のない音によって、12音技法を使わずとも無調を実現しました。

このＣＤは高校の頃に買っていて、眠る時や落ち着きたい時によく聴いたものです。
無調の音楽というと、とっつきにくいと思われるかもしれませんが、この曲を初めて聴いたとき不思議な懐かしさを感じたのを覚えています。
一般の音楽のイメージとは離れているかもしれないけれど、こんな音の響きを、生きているうちにどこかで聴いているのかもしれません。

高橋悠治さんの演奏、本人によるプリペアも素晴らしいので、プリペアド・ピアノの音がどんなものなのか聴いてみたい人にはぜひともおすすめしたい一枚です。

◇Pick up!!◇
1.ソナタ第１番
曲頭が耳に残っていて、つい口ずさんでしまうとても好きな曲。
暖かみのある演奏が心地良いです。

クロード・ドビュッシー『世紀の名ピアニストたち』

クロード・ドビュッシー『世紀の名ピアニストたち』 1996

オススメ度
凡人：☆☆☆
作曲者自身の演奏が聴きたい人：☆☆☆☆

和声レベル：近代フランス和声
リズムアプローチ：クラシック

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1. 前奏曲第1巻第1曲~デルフィの舞姫たち 
2. 前奏曲第1巻第10曲~沈める寺 
3. 前奏曲第1巻第11曲~パックの踊り 
4. 組曲「子供の領分」 
5. スケッチ帳より 
6. レントよりおそく 
7. 版画第2曲~グラナダの夕暮れ 
8. 版画第3曲~雨の庭 
9. 前奏曲第1巻第8曲~亜麻色の髪の乙女 
10. 同第2巻第3曲~ヴィーノの門 
11. アラベスク第1番ホ長調 
12. アラベスク第2番ト長調 
13. 前奏曲第1巻第2曲~帆 
14. ベルガマスク組曲第3曲~月の光 
15. 夢 
16. 映像第2集第3曲~金色の魚 
17. 同第1集第1曲~水の反映 

演奏
クロード・ドビュッシー(1.～7.)
ヨランダ・メロ(8.)
ルドルフ・ガンツ(9.10.)
レフ・プイシュノフ(11.)
カロル・ロビンソン(12.)
ワルター・ギーゼキング(13.)
シュザンヌ・ゴデヌ(14.)
フレデリコ・ブファレッティ(15.)
リヒャルト・ブーリヒ(16.17.)

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ロール・ペーパーに記録されていた演奏を、リプロデューシング(自動演奏)ピアノで再生し、録音したものです。
ドビュッシー本人の演奏が聴ける貴重なＣＤ。
もちろん再現度は完全ではないと思うのですが、それでも100年近く前にどんな演奏をしていたのか、クリアな音で聴くことができるのは嬉しい。

ドビュッシーの名曲は一通り収められているので、単に彼の曲を聴きたい方にもおすすめ。
どの曲が良いと言い辛いくらい、全部が本当に名曲ですね。

現在の演奏とはテンポ感、表現の仕方がずいぶん違う箇所もあれば、ほとんど変わらない部分もある。
演奏家の方は聴いてみるといろいろ発見があると思います。

◇Pick up!!◇
2. 前奏曲第1巻第10曲~沈める寺
後にコンテンポラリーなスタイルでのジャズボイシングの基本となる、４度堆積のような和音が使われていることに注目。
このような和音は、印象派の作曲家やシェーンベルクらによって積極的に使われるようになるのですが、少し調性感の薄いふわっとした響きが心地よいですね。
 

Bill Evans 『Waltz for Debby 』

Bill Evans 『Waltz for Debby 』1961

オススメ度
凡人：☆☆☆☆
リリカルな音に浸りたい人：☆☆☆☆☆

和声レベル：ハードバップ(エヴァンスによる新しいボイシング)
リズムアプローチ：スウィング

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1.My Foolish Heart
2.Waltz For Debby(Take2)
3.Detour Ahead(take2)
4.My Romans(take1)
5.Some Other Time
6.Milestones
7.Waltz For Debby(take1)
8.Detour Ahead(take1)
9.My Romans(take2)
10.Porgy(I Love You, Porgy)

Bill Evans(p)
Scott LaFaro(b)
Paul Motian(ds)

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1961年のヴィレッジバンガードでのライブアルバム。この時の演奏は他に『Explorations』『Sunday At The Village Vanguard』でも聴くことができます。

時々、ビル・エヴァンスしか聴きたくない時期がおとずれる。
自分だけの世界に沈んでいる時、他のジャズミュージシャンの演奏ではうるさいのだ。
所謂良い雰囲気で甘ったるい感じのジャズとは似て非なるものだと思います。
暗くて内向的な演奏。閉鎖された表現。小さくて綺麗な世界。
他人には理解してもらえないかもしれない自分だけの気持ちを、ピアノを使うことで芸術的にも高い美しさに変えることができるこの人はすごいと思う。
うらやましい。

どうかこのＣＤを聴くときは、ＢＧＭなんかにしないで、彼の歌を一音一音じっくり聴いてください。

◇Pick up!!◇
1.My Foolish Heart
ジャズミュージシャンは普段この曲を演奏しやすいＢ♭のキーでやっています。
このテイクではＡのキーで演奏。
ビル・エヴァンスは暖かい＃系の音が欲しかったのでしょうか。
ベースは開放弦の音も使いやすくなって、のびのびと演奏してますね。

2.Waltz For Debby(Take2)
曲自体はずっと若い頃に作ったもののようです。
これほどリリシズムあふれる演奏が他にあるでしょうか。
全部の音が愛しく感じられる、素敵な演奏。